2019-2020年高三数学一轮复*第十二篇复数算法推理与证明第4节直接证明与间接证明数学归纳法基丛点练理

发布于:2021-10-28 02:19:12

2019-2020 年高三数学一轮复*第十二篇复数算法推理与证明第 4 节 直接证明与间接证明数学归纳法基丛点练理 【选题明细表】 知识点、方法 题号 综合法 3,5,8,12 分析法 7,10,11 反证法 1,2,4,9 数学归纳法 6,13 基础对点练(时间:30 分钟) 1.用反证法证明某命题时,对结论“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”正确的反设是( B ) (A)自然数 a,b,c 中至少有两个偶数 (B)自然数 a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 (C)自然数 a,b,c 都是奇数 (D)自然数 a,b,c 都是偶数 解析: “恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”.故选 B. 2.设 x,y,z>0,则三个数+,+,+( C ) (A)都大于 2 (B)至少有一个大于 2 (C)至少有一个不小于 2 (D)至少有一个不大于 2 解析:假设三个数都小于 2, 则+++++<6, 由于+++++= (+)+(+)+(+)≥2+2+2=6,所以假设不成立, 所以+,+,+中至少有一个不小于 2.故选 C. 3.设 a=-,b=-,c=-,则 a,b,c 的大小顺序是( A ) (A)a>b>c (B)b>c>a (C)c>a>b (D)a>c>b 解析:因为 a=-=, b=-=, c=-=, 又因为+>+>+>0, 所以 a>b>c. 4. (xx 高考山东卷)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根” 时,要做的假设是( A ) (A)方程 x3+ax+b=0 没有实根 (B)方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 (C)方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 (D)方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根 解析:至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程 x3+ax+b=0 没有实根”.故 选 A. 5.(xx 成都模拟)已知函数 f(x)=()x,a,b 是正实数,A=f(),B=f(),C=f(),则 A,B,C 的大小关系 为( A ) (A)A≤B≤C (B)A≤C≤B (C)B≤C≤A (D)C≤B≤A 解析:因为≥≥, 又 f(x)=()x 在 R 上是减函数, 所以 f()≤f()≤f(), 即 A≤B≤C.故选 A. 6.用数学归纳法证明++…+>时,由 k 到 k+1,不等式左边的变化是( C ) (A)增加项 (B)增加和两项 (C)增加和两项同时减少项 (D)以上结论都不对 解析:n=k 时,左边=++…+ n=k+1 时,左边=++…+, 由“n=k”变成“n=k+1”时,不等式左边的变化是+-. 7.设 a>b>0,m=-,n=,则 m,n 的大小关系是 . 解析:法一 取 a=2,b=1,得 m<n. 法二 -<?+>?a<b+2·+a-b?2·>0,显然成立,故 m<n. 答案:m<n 8.已知点 An(n,an)为函数 y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数 y=x 图象上的点,其中 n∈N*,设 cn=an-bn,则 cn 与 cn+1 的大小关系为 . 解析:由条件得 cn=an-bn=-n=, 所以 cn 随 n 的增大而减小. 所以 cn+1<cn. 答案:cn+1<cn 9.用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a,b,c 中至少 有一个是偶数.用反证法证明时,假设的内容是 . 解析:“至少有一个是”的否定为“都不是”. 答案:假设 a,b,c 都不是偶数 10.已知 a>0,用分析法证明-≥a+-2. 证明:要证-≥a+-2, 只需证≥(a+)-(2-). 因为 a>0, 所以(a+)-(2-)>0, 所以只需证()2≥[(a+)-(2-)]2, 即 2(2-)(a+)≥8-4, 只需证 a+≥2. 因为 a>0,a+≥2 显然成立(a==1 时等号成立), 所以要证的不等式成立. 能力提升练(时间:15 分钟) 11.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a+b+c=0,求证<a”索的因应是 (C) (A)a-b>0 (B)a-c>0 (C)(a-b)(a-c)>0 (D)(a-b)(a-c)<0 解析:由 a>b>c,且 a+b+c=0 可得 b=-a-c,a>0,c<0. 要证<a,只要证(-a-c)2-ac<3a2,即证 a2-ac+a2-c2>0, 即证 a(a-c)+(a+c)(a-c)>0, 即证 a(a-c)-b(a-c)>0, 即证(a-c)(a-b)>0. 故求证“<a”索的因应是(a-c)(a-b)>0. 12.对于函数 f(x),若? a,b,c∈R,f(a),f(b),f (c)都是某一三角形的三边长,则称 f(x)为 “可构造三角形函数”.以下说法正确的是( D ) (A)f(x)=1(x∈R)不是“可构造三角形函数” (B)“可构造三角形函数”一定是单调函数 (C)f(x)=(x∈R)是“可构造三角形函数” (D)若定义在 R 上的函数 f(x)的值域是[,e](e 为自然对数的底数),则 f(x)一定是“可构造 三角形函数” 解析:对于 A 选项,由题设所给的定义知,? a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一正三角形的 三边长,是“可构造三角形函数”,故 A 选项错误; 对于 B 选项,由 A 选项判断过程知,B 选项错误; 对于 C 选项,当 a=0,b=3,c=3 时,f(a)=1>f(b)+f(c)=,不构成三角形,故 C 错误; 对于 D 选项,由于+>e,可知,定义在 R 上的函数 f(x)的值域是[,e](e 为自然对数的底数), 则

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